Es ist schon richtig, das man dies per vollst. Induktion beweisen kann, aber dein Beweis ist eben falsch.
Leider finde ich derzeit kein Programm, welches LaTeX Code in Bilder umwandeln kann, daher schreibe ich es mal so auf.
Also zunächst lautet ja die Formel
Code:
Summe von k = 1 bis n über (2 *k -1) ist gleich n^2
Für n = 1
Sollte es daher erstmal
Code:
Summe von k = 1 bis [COLOR="Red"]1[/COLOR] über (2 * [COLOR="Red"]k[/COLOR] -1) ist gleich 1^2
lauten. Man kann hier zwar auch
Code:
Summe von k = 1 bis [COLOR="Red"]1[/COLOR] über (2 * [COLOR="Red"]1[/COLOR] -1) ist gleich 1^2
schreiben, jedoch ist dies im allg. nicht mehr die gleiche Summe, weshalb man hier eigentlich noch zeigen müsste, das dies für n = 1 gleich ist.
Und dann kommen wir zum 2. Teil
Code:
Summe von k = 1 bis n+1 über (2 * k -1)
ist was ganz anderes als
Code:
Summe von k = 1 bis n+1 über ((2 * k -1) + (2 * (k+1) -1))
Und selbst wenn (2 * (k+1) -1) nicht Teil der Summe wäre - was man jedoch hier annehmen würde, da k nur innerhalb der Summe definiert ist - wäre es immernoch total falsch.
Code:
Summe von k = 1 bis [COLOR="Red"]n+1[/COLOR] über (2 * k -1)
ist gleich
Code:
Summe von k = 1 bis [COLOR="Red"]n[/COLOR] über (2 * k -1) + (2 * ([COLOR="Red"]n + 1[/COLOR]) -1)
Wobei, wie man sieht, (2 * (n + 1) -1) nicht mehr zur Summe gehört.
Wie man sieht wurde hier auch die Grenze der Summe verringert, schließlich muss das gesamtergebnis ja gleich bleiben.
Jetzt greift man die Annahme auf und schreibt für
Code:
Summe von k = 1 bis [COLOR="Red"]n[/COLOR] über (2 * k -1)
also
und erhält somit
was wiederum gleich
ist
Und dies ist ja
q.e.d
Und jetzt wäre es bewiesen.
Du solltest dir nochmal anschauen wie eine Summe aufgebaut ist, da der Fehler hier hauptsächlich an dem falschen abspalten lag, da du nämlich die Grenze der Summe nicht verändert hast und die übernahme des k, welches jedoch ein teil der Summe ist und außerhalb der Summe gar nicht definiert ist.