Mathe Aufgabe

[stefros]

Was soll denn bitte {{ø}} bedeuten bzw. wo sollte der Unterschied zu {ø} sein?

 

[KaiKai]

gute frage, ich gebe auf =)

 

[deamon]

P(ø) = {ø}
p(p(ø)) = { ø , {ø} }
p(p(p(ø))) = { ø , {ø} , {{ø}} , { ø , {ø} } }


1. zeile steht ja bei wiki
wenn man jetzt die potenzmenge einer 1-elementigen menge bildet, kommt da die leere menge raus sowie das element der ausgangsmenge ( vgl

)

die neue menge hat nun 2 elemente ( man kann sagen ø -> a; {ø} -> b), also hat die potenzmenge 4 (vgl.

so habe ich mir das auch erst hergeleitet.

{{ø}} is ne menge die eine menge enthält in der ø enthalten ist (richtig? der unterschied zu ø,{ø} ist mir zwar schleierhaft, aber irgendwo wird sowas hoffentlich existieren)

 

[KaiKai]

die frage ist, ob

P( {ø} ) = { ø , {ø} }

richtig ist bzw sinn macht

€:

müsste aber stimmen, sonst wäre

falsch

 

[deamon]

afaik ja weil:
P( {ø} ) = { ø , {ø} } != P( ø ) = { ø }
2^n -> links: 2^1 rechts 2^0 -> stimmt
€: dann stimmt meine erste lösung p(p(p(ø))) = { ø , {ø} , {{ø}} , { ø , {ø} } } doch und {ø} wäre als antwort falsch^^ thx

 

[KaiKai]

jup, siehe oben

algebra

 

[Osbes]

Defintion:
Eine Potenzmenge einer Menge G ist die Menge aller Teilmengen von G.

Satz:
Die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge einer Menge G ist immer 2^n, wobei n die Anzahl der Elemente der Menge G ist.

Wenn man den Satz erstmal beweisen hat (z.B. via vollst. Indukion), dann folgt daraus
Die Anzahl der Elemente von P(P(G)) ist 2^2^n, bzw. Die Anzahl der Elemente von P(P(P(G))) ist 2^2^2^n

Und daher ist die Anzahl der Elemente von P(P(P({ø}))) = 2^2^2^1 = 2^2^2 = 2^4 = 16

P({ø}) = { ø , {ø} }
P(P({ø})) = { ø , {ø}, {{ø}}, {ø , {ø}}}
P(P(P({ø}))) =
{
ø,
{ø},
{{ø}},
{{{ø}}},
{{ø , {ø}}},
{ø, {ø}},
{ø, {{ø}}},
{ø, {ø , {ø}}},
{{ø}, {{ø}}},
{{ø}, {ø , {ø}}},
{{{ø}}, {ø , {ø}}},
{ø, {ø}, {{ø}}},
{ø, {ø}, {ø , {ø}}},
{ø, {{ø}}, {ø , {ø}}},
{{ø}, {{ø}}, {{ø}}},
{ø, {ø}, {{ø}}, {{ø}}},
}

Und da ø kein Element enthält ist die Anzahl der Elemente von P(P(P(ø))) = 2^2^2^0 = 2^2^1 = 2^2 = 4

P(ø) = { ø }
P(P({ø})) = { ø , {ø} }
P(P(P({ø}))) = { ø , {ø}, {{ø}}, {ø , {ø}}}

 

[anunknownperson]

Wenn man den Satz erstmal beweisen hat (z.B. via vollst. Indukion)

achtung mengentheorie: daher bitteschön transfinite induktion!

 

[Osbes]

achtung mengentheorie: daher bitteschön transfinite induktion!

Warum transfinite induktion ?? ich beweise doch über |N und nicht irgendeiner anderen Menge ?

 

[anunknownperson]

naja, aber das ist sozusagen ein uninteressanter spezialfall. (steht auch nicht in deiner recht vagen Formulierung des Satzes.

allgemeiner: Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge G ist immer gleich der Mächtigkeit der Menge 2^G, wobei 2^G die Menge der Funktionen von G in die Ordinalzahl 2 ist.

PS: nagut, vielleicht ist "Anzahl" in gewisser weise synonym mit endlicher kardinalzahl. hm.

 

[Psycho Joker]

Get al life, Mathe-Geek!!

 

[anunknownperson]

yeah, whatever

 

[stefros]

Eure Profile gleichen sich wie Eier! (eure Posts)
Sehr schön.

Ich finds krass, kann mir allerdings immer noch nicht vorstellen was eine Mengenmenge sein soll. Wo der Unterschied sichtbar wird ob man jetzt eine Menge mit einem Element oder die Menge von einer Menge mit einem Element hat. Wenns nur ein Element gibt kann man sich ja PRAKTISCH die Menge schenken.
Also sehe da keine wirklichen Anwendungen, wo braucht man das denn? ^^

 

[OliViero]

Der Thread ist geil

 

[anunknownperson]

Eure Profile gleichen sich wie Eier! (eure Posts)
Sehr schön.

Ich finds krass, kann mir allerdings immer noch nicht vorstellen was eine Mengenmenge sein soll. Wo der Unterschied sichtbar wird ob man jetzt eine Menge mit einem Element oder die Menge von einer Menge mit einem Element hat. Wenns nur ein Element gibt kann man sich ja PRAKTISCH die Menge schenken.
Also sehe da keine wirklichen Anwendungen, wo braucht man das denn? ^^

erstes axiom der mengentheorie: extensionalität!
Eine Menge a und eine menge b sind identisch genau dann, wenn für alle x gilt x ε a <--> x ε b.

{Ø} hat ein element, Ø hat gar keins...

 

[Osbes]

Warum denn ein Spezialfall ?
Sei G eine Menge, dann ist n(G) := |G| und n(P(G)) = 2^n(G)

Sei nun n(G) = 0 (bzw. G = leere Menge)
Dann soll n(P(ø)) = 2^n(ø) = 2^0 = 1 sein, was schon mal stimmt.

Sei nun X irgendein Element, welches nicht in G liegt.
n(G vereinigt X) = n(G) + 1

n(P(G vereinigt X)) = 2^n(G vereinigt X) = 2^(n(G) + 1)

Womit es durch eine reine vollst. Induktion für jede endliche Menge G bewiesen wäre.

Und ich brauche nur die vollst. Induktion, da die Menge von n(G), für alle Mengen G, gleich |N ist.

 

[anunknownperson]

Warum denn ein Spezialfall ?
Sei G eine Menge, dann ist n(G) := |G| und n(P(G)) = 2^n(G)

Sei nun n(G) = 0 (bzw. G = leere Menge)
Dann soll n(P(ø)) = 2^n(ø) = 2^0 = 1 sein, was schon mal stimmt.

Sei nun X irgendein Element, welches nicht in G liegt.
n(G vereinigt X) = n(G) + 1

n(P(G vereinigt X)) = 2^n(G vereinigt X) = 2^(n(G) + 1)

Womit es durch eine reine vollst. Induktion für jede Menge G beweisen wäre.

Und ich brauche nur die vollst. Induktion, da die Menge von n(G) für jede Menge G = |N ist.

der spezialfall liegt in genau der annahme, dass G endlich ist!
interessant wirds doch aber erst bei P(|N). zum beispiel...

 

[Osbes]

Achso, ja da bin ich durch die diskrete Mathematik zu sehr an endliche Mengen gewöht .^^

 

[BseBear]

Also sehe da keine wirklichen Anwendungen, wo braucht man das denn? ^^

Wenn man LISP programmiert Gut da werden die Dinger "Listen" genannt aber es gibt auch nen Unterschied zwischen ner leeren Liste und ner leeren Liste, die ne leere enthält^^

 

[blackplague]

ich hab auch mal ne Frage^^ will nicht extra nen neuen Thread dazu aufmachen

also ich soll z rausfinden ... z²-2z+5 = 0 ....aber irgendwie raff ich net wie ich das auflösen muss 0o...

also ich muss irgendwie die Zahl halt finden, die Quadriert - der Zahl *2 -5 ergibt, damit ich zum Schluss mit + 5 Null rausbekomme aber wie 0o